Le théorème des Lunules
Sommaire
- Introduction
- Aire du triangle
- Aire des lunules
- Conclusion
Introduction
Nous devons essayer de calculer l'aire des deux lunules ci-contre en orange et en vert.
Nommons d'abord les points principaux A, B, C.
Donnons des mesures :
AB = 6
AC = 8
BC = 10
Aire du triangle
Calculons d'abord l'aire du triangle rectangle en bleu.
Donc l'aire du triangle est égale à 24 cm².
Ou avec le calcul littéral :
CONCLUSION 1 : ( AB × AC ) ÷ 2 = ½ × AB × AC
Aire des Lunules
Aire du demi-cercle de B à C
Ensuite calculons l'aire du demi cercle de B à C avec ces mesures.
Donc l'aire du demi-cercle est égale à 17.5 π.
Aire des parties roses
Calculons donc l'aire des parties roses en soustrayant l'aire du demi-cercle et celle du triangle rectangle.
Donc l'aire des zones roses est d'à peu près 55 cm².
Aire des demi-cercles en vert, orange et rose
Calculons ensuite l'aire des deux demi-cercles en vert, orange et roses (ceux de diamètres AB et AC).
L'aire des deux demi-cercles est égales à 7 π.
Aire des lunules
Pour connaître l'aire des lunules, il faut soustraire l'aire des demi-cercles et celle des zones en roses.
Ou 22 cm².
Maintenant, faisons le avec le calcul littéral.
CONCLUSION 2 : ½ × AB × AC
Conclusion
D'après les conclusions 1 et 2 l'aire des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle circonscrit au demi-cercle BC.
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Il faut remonter maintenant !!
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